Цикл Карно, теоремы Карно и Карно-Клаузиуса

Второе начало термодинамики возникло на основе изучения принципов работы тепловых машин, назначение которых состояло в превращении теплоты в работу. Существенный вклад в обоснование и осмысление второго начала термодинамики внес талантливый французский инженер и физик Николя Леонар Сади Карно. В 1824 г он впервые показал, что тепловые машины могут совершать работу лишь в процессе перехода теплоты от горячего тела к холодному. Идеи Карно были развиты Клапейроном, которым впервые было предложено графическое изображение цикла Карно.

Цикл Карно – обратимый цикл, состоящий из четырех процессов: изотермического расширения газа при T₁, изотермического сжатия при T₂, адиабатического расширения и адиабатического сжатия. Рассмотрим теплоты и работы отдельных процессов и всего цикла в целом. В качестве рабочего тела тепловой машины возьмем 1 моль идеального газа.



1) Изотермическое расширение газа при Т₁ (AB):

Газ находится в  цилиндре с поршнем и расширяется. Работа осуществляется за счет теплоты, поглощаемой от термостата (теплового источника). Внутренняя энергия газа не изменяется, поскольку температура постоянна.

δW = pdV,  тогда:  W = p₁p₂pdV.

Для решения интеграла нужно знать p = f(V). Для идеального газа p = RT/V, откуда:

W = V₁V₂  RTVdV = RTV₁V₂dlnV = RTlnV₂V₁.

При T = T₁: W₁ = RT₁lnV₂V₁ (W₁ > 0). Теплота процесса: q₁ = W₁.

2) Адиабатическое расширение (BC):

Теплообмен с окружающей средой отсутствует, q = 0, газ расширяется от V₂ до V₃. Расширение газа происходит за счет убыли внутренней энергии, температура понижается до T₂.

δW = –dU,  C_v = δUδTV,  тогда:

W₂ = –T₁T₂dU = –T₁T₂C_vdT = C_v(T₁ – T₂)

при условии, что теплоемкость не зависти от температуры.

3) Изотермическое сжатие газа при Т₂ (CD):

Газ изотермически сжимается от V₃ до V₄. При этом над газом совершается работа:

W₃ = RT₂lnV₄V₃ (W₃ < 0),

а термостату (холодильнику) передается теплота q₂ = W₃.

4) Адиабатическое сжатие (DA):

Теплообмен с окружающей средой отсутствует, q = 0, газ сжимается от V₄ до V₁. При этом работа равна:

W₄ = C_v(T₂ – T₁).

Суммарная работа четырех процессов равна:

W = RT₁lnV₂V₁ + C_v(T₁ – T₂) + RT₂lnV₄V₃ + C_v(T₂ – T₁) = R(T₁ – T₂)lnV₂V₁.

Внутренняя энергия газа не изменяется и работа совершается газом за счет теплоты (q₁), поглощаемой от теплового источника (термостата) при температуре T₁. Однако, в работу превращается только часть теплоты. Другая часть теплоты (q₂) передается холодильнику (термостату) при температуре T₂. Т. о., суммарная работа равна алгебраической сумме теплот в цикле: W = q₁ – q₂. Отношение W/q₁ показывает, какая часть теплоты, поглощенная газом за один цикл, превращается в работу. Это соотношение называется КПД цикла (η = W/q₁). В данном случае это – КПД цикла Карно с идеальным газом в качестве рабочего тела. Исходя из полученных выражений, можно записать:

η = Wq₁ = q₁ – q₂q₁ = R(T₁ – T₂)lnV₂/V₁RT₁lnV₂/V₁ = T₁ – T₂T₁.

Т. о., η зависит от разности температур, между которыми работает тепловая машина по циклу Карно. При T₁ = T₂ η = 0 и получение работы невозможно. Полное превращение теплоты в работу было бы возможным в том случае, если бы был возможен холодильник (термостат) с температурой T₂ = 0K. Цикл Карно равновесен, поскольку все составляющие его процессы равновесны. При проведении этого цикла в обратном направлении все величины имеют те же значения, но с обратными знаками. В обратном цикле работа превращается в теплоту и теплота переносится от холодильника к тепловому источнику. Это дает нам схему действия идеальной холодильной машины.

Теорема Карно: не существует тепловой машины, которая имела бы КПД больший, чем КПД машины Карно, работающей в том же интервале температур T₁ – T₂.

Из факта максимального КПД обратимого цикла Карно следует, что он при заданном температурном интервале T₁ – T₂ устанавливает предел превращения теплоты в работу.

Теорема Карно-Клаузиуса: КПД тепловой машины при работе по обратимому циклу не зависит от природы рабочего тела, а определяется только разностью температур T₁ и T₂, при которых работает эта тепловая машина.


Задачи по теме:

1. Рассчитайте коэффициент полезного действия тепловой машины, работающей по циклу Карно, получающей пар при 140°C и выпускающей его при 105°C.
   
   Решение:
   
   η  =  T₁ – T₂T₁  =  413 – 378413  =  0,0848  (8,48%).
   
   Ответ:  η  =  0,0848  (8,48%).
   
   
2. Тепловая машина, работающая по циклу Карно в интервале температур 350–50°C, за один цикл совершает работу, равную 8,01 ккал. Рассчитайте количество теплоты, которое сообщается машине и отдается холодильнику за этот же цикл.
   
   Решение:
   
   Wq₁  =  T₁ – T₂T₁.
   
   Отсюда, количество теплоты, сообщенное тепловой машине
   
   q₁  =  W·T₁T₁ – T₂  =  8,01·623300  =  16,63 ккал,
   
   из которых 8,01 ккал превращается в работу, а q₂ = 16,63 – 8,01 = 8,62 ккал передается холодильнику.
   
   Ответ:  q₁ = 16,63 ккал,  q₂ = 8,62 ккал.
   
   
3. Тепловая машина, работающая по циклу Карно в интервале температур 800–273K, совершает работу, равную 12,08 ккал. В качестве рабочего тела выступает 1 кг воздуха. Рассчитайте КПД этой машины и количество теплоты, отдаваемое холодильнику.
   
   Решение:
   
   η  =  T₁ – T₂T₁  =  800 – 273800  =  0,6588  (65,88%).
   
   Количество теплоты, сообщенное тепловой машине
   
   q₁  =  Wη  =  12,080,6588  =  18,34 ккал.
   
   Из них 12,08 ккал превращается в работу, а q₂ = 18,34 – 12,08 = 6,26 ккал передается холодильнику.
   
   Ответ:  η = 0,6588 (65,88%),  q₂ = 6,26 ккал.

Равновесные и обратимые процессы

Энтропия и второе начало термодинамики